Por que una Geometría Sagrada?
Esta
pregunta puede parecer muy apropiada en un ámbito cotidiano. Qué puede tener de
sagrado la geometría?
Efectivamente
todos hemos aprendido que la geometría, en términos básicos, es una rama de las
matemáticas que estudia la lógica de las formas en el espacio, ya sea
bidimensional o tridimensional. Es decir, trabaja y explica problemas concretos
de la forma. En la vida práctica la geometría presta una gran utilidad para
medir las tierras y para poder analizar y comprender las obras concretas que
realiza el ser humano (puentes, acueductos, edificios, etc.).
Por otro
lado el término sagrado nos sugiere una dimensión espiritual o moral que se
inserta en la evolución del ser humano, con una proyección trascendente. Es decir,
como lo contrario a lo profano y al rol cotidiano y práctico de nuestras vidas.
A primera
vista la geometría, en su dimensión arquetípica, nos parece que tiene más que
ver con el mundo práctico y cotidiano, porque es ahí donde presta su real
utilidad. Entonces, cómo es que podemos instalarla en una dimensión espiritual
y trascendente?
De modo de
poder sumergirnos en esta disciplina, es necesario comprender que vamos a
trabajar con nuestra dimensión racional al mismo tiempo que lo hacemos con
aquella espiritual y con nuestra intuición. Es decir, estaremos alternando
entre nuestro hemisferio izquierdo y el derecho.
La Geometría
Sagrada es un conocimiento que se remonta a los inicios de los tiempos, viene
de épocas ancestrales, y es probable que no se puedan encontrar sus orígenes,
aun cuando se pueden registrar rastros de ésta en diversas civilizaciones, como
la Egipcia, la Maya, la Hindú, las comunidades Neolíticas, por mencionar sólo
algunas. Las preguntas que surgen son:
Qué buscaban
aquellos que dejaron las huellas que nos permiten identificar una Geometría
Sagrada?
Cómo y de quién o de quiénes recibieron este conocimiento?
Ha habido
muchos estudiosos que se han hecho estas preguntas y que han logrado
estructurar un campo de conocimiento y experimentación que ha permanecido
oculto por mucho tiempo. Desde Platón, pasando por Fra Luca Pacioli, Leonardo
da Vinci, Leonardo de Pisa, Matila C. Ghyka, hasta los actuales físicos
cuánticos y estudiosos espiritualistas como Drunvalo Melchizedek o artistas
como Charles Gilchrist, el artista, matemático y geómetra George W. Hart y
muchos otros que nos han permitido ir descubriendo y develando el misterio que
hay detrás de la Geometría Sagrada.
La enseñanza
que nos han dejado nos permite comprender que la Geometría Sagrada es un
conocimiento que contiene el patrón de crecimiento, evolución, expansión y
desarrollo de todo lo manifestado, lo que, de alguna manera, nos revela los
orígenes del tejido del universo. Como patrón de crecimiento, podemos decir que
se trata de una forma abstracta de razonamiento y como tal se puede aplicar no
solo a procedimientos y fenómenos concretos, naturales y empíricos, sino que
también a realidades conceptuales, abstractas e incluso espirituales.
En este
contexto no se puede dejar de mencionar la estrecha relación que existe entre
lo sagrado de la geometría con lo sagrado de los números. Esta se manifiesta a
través de las series numéricas y las relaciones y razones numéricas existentes
en las proporciones de las partes componentes de las entidades geométricas, las
cuales expondremos más adelante. Podríamos decir que la geometría traza el
despliegue de los números en el espacio, realizando un viaje o un camino desde
el simple punto, pasando por la línea y llegando al plano, para luego entrar a
la tercera dimensión y eventualmente trascenderla, para luego retornar al punto
nuevamente. En otras palabras se trata de una disciplina que incursiona en las
leyes de ordenación del universo y de la huella digital de la creación. A
través de proporciones, patrones, sistemas, códigos y símbolos, establece las
bases tanto de la creación natural (el universo, la materia, los organismos
vivos y su ADN) como de las re-creaciones humanas: el arte, la arquitectura, el
diseño, la ciencia, la física, la música, la cábala, las matemáticas, etc. A
través de estas últimas, el hombre hace de creador e intenta acceder a niveles
superiores de consciencia, entendimiento, conocimiento o sensibilidad que lo
conecten en forma creciente con la vastedad que lo rodea. Y esto lo logra
cuando basa su creación consciente o inconscientemente – en la Geometría
Sagrada, obteniendo así lo que G.I. Gurdjieff llamaba arte objetivo:
El arte
oriental es preciso, matemático, sin manipulaciones. Es una forma de escritura
Por ejemplo, tomemos la arquitectura. He visto algunos ejemplos de arquitectura
en Persia y Turquía; por ejemplo, un edificio de dos habitaciones. Todo aquel
que entraba a estas habitaciones, ya fuera viejo o joven, inglés o persa,
lloraba El resultado era siempre el mismo. Con estas combinaciones
arquitectónicas, las vibraciones calculadas matemáticamente contenidas en el
edificio no podían producir otro efecto. Estamos bajo ciertas leyes y no
podemos resistir las influencias externas. Como el arquitecto de este edificio
tenía una comprensión diferente y construyó matemáticamente, el resultado era
siempre el mismo. Hicimos otro experimento. Afinamos nuestros instrumentos
musicales de un modo especial y combinamos los sonidos de tal manera que aún
trayendo a los transeúntes casuales de la calle obtuvimos el resultado que
queríamos. La única diferencia era que uno sentía más, otro menos. Supongamos
que llega a un monasterio; usted no es un hombre religioso, pero lo que tocan y
cantan allí evoca en usted el deseo de orar. Y así sucede con todos. Este arte
objetivo está basado en leyes…
(Extractado
de Perspectivas desde el Mundo Real, Ed. Hachette, Argentina, 1977, págs.
164-165).
Como verán,
se trata de incursionar en un recorrido donde los números se despliegan desde
un espacio bidimensional en una superficie plana y luego en un espacio
tridimensional. Este proceso ha generado un lenguaje universal cuya carga
simbólica trasciende fronteras y épocas en el tiempo, y que es el vínculo
axiomático sine qua non para una correspondencia entre lo grande y lo pequeño,
entre arriba y abajo, según la Ley de Analogía. Este recorrido es el camino de
toda realidad manifestada desde su punto inicial de creación hasta su retorno
al origen.
Los
practicantes de la geomancia se interesan en la Geometría Sagrada porque es el
estudio de la manera en que el espíritu se integra a la materia, a través de
amplificar y resonar la geometría de la naturaleza y los movimientos
planetarios, logramos alinear la resonancia del cuerpo/mente/espíritu con la
frecuencia armónica de lo superior y lo inferior.
También
están interesados en la Geometría Sagrada porque se ha descubierto que ciertos
espacios con proporciones especiales, permiten al individuo vibrar en una
frecuencia apropiada que le permite maximizar la posibilidad de conexión con el
Unico.
(Extractado
del artículo Why Sacred Geometry from Mid Atlantic Geomancy.)
www.bibliotecapleyades.net/geometria-sagrada
2.- El
origen y el Génesis.
2.1.- El
vacío.
Antes de comenzar con el primer elemento manifestado, intentaremos imaginar el
espacio vacio (fig. 1) en el cual aun no existe nada y se constituye como el
principio de la creación. Es aquel espacio infinito y plenipotencial en el cual
se penetra en la meditación cuando logramos acallar la mente y entramos en el vacío,
que es como estar flotando en ninguna parte y que sólo es invadido por una luz
blanquecina.
Fig. 1 El vacío
2.2.- El
punto
En este
espacio aparece un simple punto (fig. 2) que será nuestro primer arquetipo que
conforma la primera dimensión. Este representa la consciencia de unidad, la
mente divina e indivisible. Es donde comenzamos nuestro camino, desde donde
iniciaremos nuestra misión para luego retornar al punto que es la raíz absoluta
del concepto mental y el que, del mismo modo, es la raiz del pensamiento
holístico. Para nosotros es el punto de síntesis que brota del tercer ojo en la
glándula hipófisis en el cerebro.
Fig. 2 El punto
2.3.- Los
dos puntos.
Del universo
unidimensional pasamos al bidimensional donde la unidad se transforma en
dualidad. Ocurre este gran milagro y misterio donde el punto aislado se divide
y se transforma en dos puntos que dan paso a la segunda dimensión (fig.
3). A partir de esta instancia nos vemos enfrentados a la primera dualidad que
genera un espacio medible. Aparece una relación espacial dentro de la cual
podemos habitar y desplazarnos.
Fig. 3 Dos puntos
2.4.- El
radio y el arco.
Desde el
momento que podemos desplazarnos, damos origen a una línea. Es el movimiento
entre el primer y segundo punto, es decir la línea recta entre los puntos A y
B. Este primer movimiento que se traslada entre estos dos puntos da
origen al radio (Fig 4), el cual representa el arquetipo masculino. A
continuación se manifiesta un movimiento de rotación donde el punto B gira
en torno al punto A configurando el arco (fig. 5), que representa el
arquetipo femenino. Es el origen de la dualidad radio/arco de la cual se
genera todo camino posterior. Con propiedad podemos llamarlo el movimiento
raiz.
A partir de éste se despliega todo el concepto de dualidad:
Ying y Yang
Luz y oscuridad
Izquierda y derecha
Arriba y abajo
Adelante y atrás
Madre y padre
Etc.
El juego radio/arco etablece todas las energías del universo.
Fig. 4 El radio
Fig. 5 El arco
2.5.- El
circulo.
El arco
continuará girando a partir del punto B en torno al punto A hasta
volver a retornar al punto B desde donde comenzó a girar. Este
movimiento da origen a la primera forma cerrada de la Geometría Sagrada. El
círculo es una manifestación bidimensional de la Mente Divina e indivisible.
Además representa un movimiento y un tiempo que se manifiesta como el primer
ciclo cerrado o la primera forma cerrada de la Geometría Sagrada. Es como el
ciclo inicial que expresa el Génesis.
Esta
relación de desplazamiento en el tiempo del radio/arco se ha expresado
en términos matemáticos como Phi, que es la proporción de la
circunferencia del círculo con su diametro. Se trata de un número trascendental
o irracional (se verán los números irracionales más adelante), con un valor de
3,14159265. Para propósitos prácticos Phi = 3,1416.
Los números
trascendentes son irracionales, pero no todo irracional es trascendente (por
ejemplo raíz de 2). Es decir, trascendente implica irracional pero no al revés.
El número Phi no sólo es irracional (no es igual a ninguna fracción o
cociente de dos enteros) sino que además trascendente. No es algebraico, es
decir no es solución de ninguna ecuación algebraica (=polinominal).
Fig. 6 El círculo
2.6.- El
rayo y las seis direcciones.
Nuestra
consciencia situada en el centro del espacio puede proyectarse en seis
direcciones y por tanto seis rayos. Adelante y atrás, izquierda y derecha y
arriba y bajo. Esto lo tenemos que visualizar en el espacio tridimensional
(fig. 7). Cabe considerar que para los budistas estas direcciones del
espacio pasan a ser diez.
Luego
podemos trasladar esta imagen tridimensional a una de dos dimensiones o plana,
logrando que estos seis rayos giren y completen el círculo (fig. 8), y a su vez
den origen a seis puntos B sobre la circunferencia del círculo. Estos a
su vez dan origen a los ejes del patrón de crecimiento de la creación.
Es así como
la línea recta o el rayo (arquetipo masculino) en conjunto con la línea curva o
arco (arquetipo femenino), dan origen al primer ciclo completo o Génesis que es
simbolizado por el primer círculo (bidimensional) o esfera (tridimensional)
Fig. 7 Seis direcciones en el espacio
Fig. 8 Seis direcciones en el plano
2.7.- Primer
movimiento. Dos círculos de radio común.
A partir de este círculo (o esfera), se insinúa el primer movimiento, que no
hace otra cosa que duplicar esta figura arquetípica, dando origen al primer día
después del Génesis. Este segundo círculo se desplaza haciendo centro donde el
rayo intercepta el primer círculo originario (punto B).
Esta es la primera forma traslapada de la Geometría Sagrada, llamada dos
círculos con radio común (fig.9).
Fig. 9 El primer día del Génesis. Dos círculos con radio común.
Fig. 10 Vesica Piscis.
2.8.- La
Vesica Piscis.
Este primer movimiento o día del Génesis da origen a la segunda forma cerrada
de la Geometría Sagrada: La Vesica Piscis, también conocida como la
vejiga del pez o mandorla (fig. 10). Esta forma es como el útero o matriz del
universo. A partir de ella se crean todas las formas que se desarrollan en el
espacio.
A partir de
esta imagen nacen dos nuevos puntos, el C y el D, los cuales se
han concebido como los hijos mellizos de A y B.Esta figura
también hay que imaginarla en tres dimensiones, en donde las dos esferas dan
origen a esta nueva figura tridimensional que es como una pelota de rugby o
zeppelín.
Por lo tanto
podemos decir que este primer movimiento del Génesis da origen al patrón de la
vida y de la luz, y por tanto a partir de este momento nuestros ojos pueden ver
la creación.
2.9.- El
segundo movimiento.
El segundo
movimiento da origen a un tercer círculo o tercera esfera que representa el
segundo día (fig. 11) después del Génesis. La relación de estas tres esferas o
círculos dan origen a la estrella tetraédrica (fig. 12).
Fig. 11 El segundo día del Génesis.
Fig. 12 Estrella tetraédrica.
2.10.- El
tercer movimiento.
Este da
origen al cuarto círculo o esfera que representa el tercer día del Génesis
(fig. 13). Si se observan detenidamente veremos que estos cuatro círculos
contienen cinco Vesica Piscis y un pétalo central, el cual constituye otra de
las figuras contenidas de la Geometría Sagrada (fig. 14).
Estos cuatro
círculos son muy simbólicos ya que representan la esencia de la familia en el
lenguaje de la Geometría Sagrada. Los círculos 1 y 2 son los padres, los 3 y 4
los hijos, y el corazón de la familia se nos presenta en forma de pétalo.
Fig 13. Tercer día del Génesis. Cuatro círculos y el pétalo central.
Fig. 14 Cinco Vesica Piscis y el pétalo central.
2.11.- El
cuarto, quinto y sexto movimiento.
Dan origen,
respectivamente al quinto, sexto y séptimo círculos o esferas, que a su vez
simbolizan el cuarto, el quinto y el sexto día del Génesis (figs. 15, 16 y 17).
Fig. 15, 16 y 17: Cuarto, Quinto y Sexto día después del Génesis
3.- La
Semilla de la Vida.
De esta
forma, al completar el séptimo círculo, se completa el patrón del Génesis y el
principio de la creación del universo. Es así como se da origen a lo que se
conoce como La Semilla de la Vida (fig. 18); y a partir de esta se concibe el
Tubo Toro (llamado simplemente Toro por los matemáticos) o Toroide (fig. 19).
Esta es una figura tridimensional que es el resultado de rotar el patrón del
Génesis en 360 grados alrededor del centro. Es una esfera que se curva hacia sí
misma por arriba o por abajo. Se le suele comparar con una rosquilla, con el
anillo de humo de un cigarro o con un neumático o un salvavidas. Pero al mismo
tiempo se puede concebir con un orificio central infinitamente pequeño hacia el
cual rotan los círculos componentes, como si fuera un toroide más cerrado (fig.
20).
Fig. 18 La semilla de la vida
Fig. 19 Toroide o Tubo Toro
Fig. 20 Toroide cerrado.
4.- El huevo
de la vida.
A continuación de la semilla de la vida y patrón del Génesis, se produce una
segunda rotación hacia el exterior de los seis círculos de esta. Esto se logra
haciendo centro en los respectivos cruces de los seis círculos y trazando los
próximos seis círculos del mismo tamaño que los anteriores (fig. 21). Luego se
borran los primeros seis círculos y se obtiene la silueta del huevo de la vida
(fig. 22).
Fig. 21 Construcción del huevo de la vida
Fig. 22 Silueta del huevo de la vida
El huevo de la vida da forma al embrión de la vida humana (a partir de la
mórula inicial) y a la morfogenética del cuerpo. El cómo la existencia física
de nuestros cuerpos se origina en el huevo de la vida es materia de un nuevo
estudio. En todo caso su carácter embrionario y su forma circular se manifiesta
como una cualidad de la geometría femenina, la cual revela las primeras formas
geométricas masculinas de carácter angular y en base a tramos rectos. Estas son
el cubo, el tetraedro y la estrella tetraédrica (fig. 23).
Fig. 23 Cubo, Tetraedro, Estrella tetraédrica
5.- La Flor
de la Vida.
Si
observamos la construcción del huevo de la vida (fig. 21) , veremos que hay
seis puntos donde se cruzan tres círculos. Si hacemos centro en cada uno de
ellos y trazamos sus respectivas circunferencias en el mismo tamaño que las
anteriores, obtendremos una tercera rotación (fig. 24).
Fig. 24 Tercera rotación
Fig. 25 Siete círculos tangentes
Esta tercera rotación permite la construcción de la Flor de la Vida. Son seis
círculos azules, seis verdes y seis rojos, más el verde central, que hacen un
total de 19 círculos. Es muy importante observar que los seis círculos
exteriores azules tocan tangencialmente al círculo verde central. Podemos
reproducir esta figura si colocamos siete monedas iguales sobre una mesa (fig.
25).
Estos
diecinueve círculos conforman una figura de una gran importancia en la
Geometría Sagrada y ha estado presente en las más variadas civilizaciones desde
tiempos inmemoriales. Siempre los diecinueve círculos, los cuales fueron
rodeados por dos círculos mayores, son los que dieron forma a la Flor de la
Vida (fig. 26). A esta altura nos damos cuenta que este patrón podría seguir hasta
el infinito, sin embargo se detiene aquí.
Fig. 26 La Flor de la Vida
6.- El Fruto
de la Vida.
Al observar este patrón vemos que en el perímetro externo de la figura se
insinúan muchos círculos que están incompletos. Si nos aventuramos a completarlos
y seguir con este patrón tendremos una cuarta rotación que nos permite
continuar con los círculos tangentes hasta llegar a tener trece (fig. 27). Al
aislarlos como si colocaramos, igual que lo hicimos antes, monedas del mismo
tamaño en forma tangente sobre la mesa, tendremos el Fruto de la Vida (fig.28).
Fig. 27 Trece círculos tangentes.
Fig. 28 El Fruto de la Vida.
7.- El cubo
Metatrón.
Hasta el momento hemos incursionado principalmente en un patrón femenino, en el
cual se ha desplegado una gran cantidad de círculos, los cuales han arribado
como una suerte de síntesis, al patrón llamado el Fruto de la Vida, conformado
por trece círculos tangentes. Este patrón, en conjunto con el Huevo de la
Vida y el Tubo Toro o Toroide conforman los tres patrones
fundamentales de la existencia.
A estos
patrones concebidos por círculos femeninos, se sobreponen líneas rectas
masculinas: los sistemas informacionales de la creación.
Así como
ocurriera con el Huevo de la Vida, el cual permitió la formación de
algunas formas masculinas a partir del punto central de sus círculos, el Fruto
de la Vida da origen, al unir los puntos centrales de sus círculos, al
Cubo Metatrón, que es la contraparte masculina del Fruto de la Vida, utilizando
la energía masculina de las líneas rectas que unen dichos centros, y es uno de
los sistemas informativos esenciales de la creación. La correcta construcción
del Cubo Metratón se logra trazando un círculo cuyo centro está en el
centro del círculo central y su radio coincide con los centros de los círculos
exteriores del fruto de la vida (círculo azul). Luego se traza un segundo
círculo (verde) con el mismo centro que el azul pero con un radio que es igual
al radio del círculo azul multiplicado por Phi de valor 0,6180339 (fig.
29).
Luego se
traza una estrella tetraédrica haciendo crecer la interior hasta que sus
vértices hagan contacto con el circulo interior (verde). Estos puntos indican
el trazado que permitirá trazar correctamente el Cubo Metatrón completo,
de modo de poder trazar las coordenadas que permiten construir la totalidad de
los sólidos Platónicos, especialmente el dodecaedro y el icosaedro, como se
expone en el punto. 8 Los sólidos Platónicos a continuación (fig. 30).
Fig. 29 Círculos para la construcción del Cubo Metatrón.
Fig. 30 Cubo Metatrón completo.
Este cubo debe su nombre al ángel Metatrón, el cual también es conocido como el
primero y el último de los Arcángeles, y recibe diversas denominaciones como
Canciller del Cielo, Ángel de la Alianza y Rey de los Ángeles. Su función
celestial es la de supervisar la anotación de todos nuestros actos en el Libro
de la Vida.
8.- Los
sólidos Platónicos.
Los sólidos
Platónicos son cinco estructuras espaciales que conforman volúmenes
tridimensionales en los cuales todas sus caras son de la misma forma y del
mismo tamaño y cuyos bordes o aristas tienen la misma longitud. Además todos
los ángulos interiores son también del mismo tamaño. Por último, si inscribimos
cada sólido Platónico en una esfera apropiada, todas las puntas tocarán la
superficie de la esfera.
Estos
sólidos fueron nominados luego que Platón los describiera en el 350 A.C. en su
obra El Timeo. Han llegado a ser la base de la estructura de la vida orgánica y
de las obras de creación humana. Las podemos encontrar en la vida animal y
orgánica, en los minerales, en el sonido, en el lenguaje, en la música, en las
artes plásticas, en la arquitectura, en las obras de ingeniería, etc.
Los cinco
sólidos Platónicos son:
1. El tetraedro
(fig. 31), cuyas caras son cuatro triángulos equiláteros iguales. De este
poliedro se desprende la estrella tetraédrica, que no es otra cosa que
dos tetraedros invertidos e intersectados (fig. 32).
2. El cubo o hexaedro (fig. 33), que es un poliedro cuyas caras
son seis cuadrados iguales.
3. El octaedro (fig. 34), cuyas caras son ocho triángulos equiláteros
iguales.
4. El dodecaedro (fig. 35), que es un poliedro de doce caras conformadas
por doce pentágonos regulares.
5. El icosaedro (fig. 36), que tiene veinte caras conformadas por veinte
triángulos equiláteros iguales.
Fig. 31 Tetraedro
Fig. 32 Estrella tetraédrica
Fig. 33 Cubo o hexaedro
Fig. 34 Octaedro
Fig. 35 Dodecaedro
Fig. 36 Icosaedro
Si observamos con detención cada uno de estos poliedros trazados en el cubo
Metatrón veremos que tienen una versión igual pero más pequeña que se inscribe
en los siete círculos tangentes interiores que se manifestaron en la tercera
rotación (fig. 24 y fig. 25)
9.- El árbol de la vida.
El Árbol de la Vida es el símbolo geométrico que se expresa como la base de
la Cábala, que es el antiguo sistema místico del Judaismo. Cada uno de los
vértices simboliza una sephirah, que a su vez representa un atributo de Dios
(fig. 37). En esta figura se puede ver la perfecta relación existente entre el
Árbol de la Vida y el patrón del Génesis manifestado en la semilla de la vida.
Fig. 37 El Arbol de la Vida
Los Sephiroth del Arbol de la Vida:
1. Kether (Corona)………………..6. Tiphereth (Belleza)
2. Binah (Comprensión)………….7. Hod (Gloria)
3. Kjokmah (Sabiduría)…………..8. Netzach (Victoria)
4. Gueburah (Poder)………………9. Yesod (Fundación)
5. Kjesed (Misericordia)………….10. Malkuth (Reino)
10.- La cuadratura del círculo.
Como hemos podido ver, el arco o línea curva representan el arquetipo
femenino y el radio o línea recta el masculino. La forma cerrada primaria que
construye el arco es el círculo, y en el caso de la línea recta es el cuadrado.
Por otro lado el círculo ha sido la forma que se le ha asignado a los cielos y
el cuadrado a la tierra. Desde muy antiguo se ha intentado equilibrar o
unificar el cielo con la tierra, el espíritu con la materia, lo femenino con lo
masculino, etc. En otras palabras, asimilar al máximo el perímetro del cuadrado
con el del círculo y su circunferencia. Esto es lo que se conoce como la
cuadratura del círculo.
Se trata de construir un cuadrado que tenga el mismo perímetro que un
círculo dado. O bien la misma área que un círculo dado. Y resulta que no es
posible construirlo usando sólo regla y compás.
Es una tarea que no ha sido fácil y es probable que la respuesta exacta
todavía no haya podido encontrarse. La respuesta es que no es posible realizar
la construcción con regla y compás, pero por supuesto, existe un cuadrado con
la propiedad requerida. Una de las aproximaciones más precisas radica en
concebir un cuadrado cuyo lado es igual al diámetro de la tierra (12.700 klm).
Es decir, la tierra queda inscrita en un cuadrado de esta medida. En seguida se
traza un círculo haciendo centro en el centro del cuadrado que contiene el
círculo de la tierra y cuyo radio es igual a la suma del radio de la tierra
(6.350 klm) más el radio de la luna, cuyo diámetro es 3.500 klm aproximadamente
(1.750 klm), quedando el radio en cuestión en 8.100 klm (fig. 38)
Tenemos entonces el perímetro del cuadrado A-B-C-D:
12.700 x 4 = 50.800 klms.;
Y el perímetro de la circunferencia de radio R:
2 x Pi (3,1416) = 6,2832 x r (8100) = 50.894
Es decir habría un error de un 1,7 %
Fig. 38 Cuadratura del círculo.
Por otro lado el conocido dibujo de Leonardo da Vinci del hombre
Vitruviano, construido en la superposición del círculo y el cuadrado, presenta
una aproximación un poco más alejada que la anterior a la buscada cuadratura
del círculo (fig. 39).
En este dibujo el cuadrado tiene como lado 7 unidades y el radio del
círculo es de 4,2 unidades.
Por lo tanto:
Perimetro del cuadrado = 7U x 4 = 28 U
Perimetro de la circunferencia = 2 x pi (3,1416) = 6,2837 x r (4,2 U) =
26,4
Error = 5,7 %
Fig. 39 Hombre Vitruviano de Leonardo da Vinci.
Una tercera aproximación a la cuadratura del círculo se ha construido
partiendo de cuatro círculos tangentes cuya suma de diámetros definen el lado
del cuadrado que los contiene. Luego, haciendo centro en el cruce de las
diagonales del cuadrado y con un radio que se integra al radio de los círculos
interiores se traza un circulo exterior que se aproxima a la cuadratura del círculo
pero que tampoco es exacta (fig. 40)
Fig. 40 Cuadratura del círculo sobre cuatro círculos tangentes
Perimetro cuadrado = 5 U x 4 = 20
Perimetro de la circunferencia = 2 x pi (3,1416) = 6,2832 x r ( 3 U) =
18,85
Error= 5,75%
11.- El eneagrama.
El eneagrama es un símbolo sagrado cuyos orígenes se han situado en
hermandades Sufis y que fue presentado en Occidente por el maestro G. I.
Gurdjieff. Este símbolo es una combinación de la Ley de Tres con la Ley de
Siete o de la Octava. Sus significados pueden ser múltiples y su análisis
requiere de un estudio aparte. En todo caso podemos mencionar que expresa la
ley o patrón de evolución y organización de todos los fenómenos y procesos en
los diversos planos de la creación. Si bien en esta ocasión sólo veremos el
eneagrama como una imagen de dos dimensiones, es recomendable, al menos,
imaginarlo como una esfera tridimensional por la cual circulan energías que
transitan los nueve puntos repartidos regularmente en el círculo base. Es
decir, se trata de un patrón dinámico.
En esta ocasión su construcción geométrica se ha realizado a partir del
patrón llamado el fruto de la vida, partiendo de la extensión de la flor de la
vida. Primero se han localizado tres ejes de dirección que dividen el patrón
mencionado en tres partes iguales. Luego se han ubicado (en azul) los tres
círculos exteriores en los extremos de los ejes (fig. 41).
En segunda instancia se ubican (en verde) los círculos tangentes a los
azules y entre ellos, y en los centros de los círculos verdes se localizan los
puntos que dividen cada uno de los tres tramos en tres sub tramos, quedando un
total de nueve de ellos. Estos seis puntos son los que marcan el recorrido de
la Ley de Siete. Luego, haciendo centro en el punto central del patrón, y radio
en los centros de los círculos verdes, se traza la circunferencia (en rojo) que
contiene el eneagrama (fig. 42)
Por último, en los puntos en que la circunferencia de color rojo corta los
tres ejes de la fig. 41 se encuentran los tres vértices del triángulo equilátero,
el tetraedro que marca los puntos 3, 6 y 9 que simbolizan la Ley de Tres. Por
otro lado los puntos 1, 2, 4, 5, 7, y 8 son los que permiten la construcción de
la Ley de Siete, cuyo recorrido sigue el orden de 1, 4, 2, 8, 5, 7 y de vuelta
al 1.
Esta secuencia nace de la unidad (1) dividida por el total de etapas (7).
Del mismo modo, pero desfasado, resulta al dividir:
1:7 = 0,1428571
2:7 = 0,2857142
3:7 = 0,4285714
4:7 = 0,5714285
5:7 = 0,7142857
6:7 = 0,8571428
Fig. 41 Eneagrama etapa 1
Fig. 42 Eneagrama etapa 2
Fig 43. Eneagrama sobre el fruto de la vida.
El eneagrama es una figura que generalmente se concibe en dos dimensiones,
sin embargo al hacerlo en tres dimensiones nos amplía considerablemente las
proyecciones que sobre él tenemos (fig 44). En esta figura cada línea se
transforma en un círculo y el triángulo conformado por los puntos 3, 6 y 9 se
transforma en una pirámide.
Fig. 44 Eneagrama tridimensional, Espacial y volumétrico.
12.- La proporción y la razón matemática.
No cabe duda de que hay variadas definiciones de belleza y muchas de ellas
concuerdan en que la belleza se logra cuando hay armonía en las proporciones.
Para comprender el concepto de proporción es recomendable remontarse a los
orígenes y recurrir a lo que entendían los griegos por proporción.
Entendían que la proporción es la igualdad entre dos razones, y la razón
matemática se definió como el cociente de dos magnitudes homogéneas,
entendiendo como cociente el resultado de la división de dos números.
La proporción es algo que encontramos en la naturaleza tanto como en la
creación humana. Cuando éstas llegan a una cierta aproximación o equivalencia,
es que se puede hablar de una razón matemática que se expresa en una proporción
divina, sagrada y de alcances espirituales.Se trata de una proporción que,
manifestándose en la naturaleza, es aprehendida y aplicada en obras humanas.
En realidad hay muchas proporciones o razones posibles, es un poco críptico
hablar de la proporción. En todo caso, aquí proporción se utiliza como sinónimo
derazón.
Pero es imposible combinar dos cosas sin una tercera; es preciso que exista
entre ellas un vínculo que las una. No hay mejor vínculo que el que hace de sí
mismo y de las cosas que une un todo único e idéntico. Ahora bien, tal es la
naturaleza de la proporción.
Platón: Timeo.
La Geometría tiene dos grandes tesoros: uno el Teorema de Pitágoras; el
otro es la división de una línea en una proporción extrema y una media
Kepler
LA DIVINA PROPORCIÓN
A ti, maravillosa disciplina,
media, extrema razón de la hermosura,
que claramente acata la clausura
viva en la malla de tu ley divina.
A ti, cárcel feliz de la retina
áurea sección, celeste cuadratura,
misteriosa fontana de mesura
que el Universo armónico origina.
A ti, mar de los sueños angulares,
flor de las cinco formas regulares,
dodecaedro azul, arco sonoro.
Rafael Alberti
13.- Números racionales, irracionales y trascendentes.
Números Racionales : Es un número que puede ser expresado como la razón de
dos números enteros, como 1/3 o 37/22. Todos los números que, cuando son
representados en notación decimal, o bien se detienen luego de un número finito
de dígitos o caen en un patrón repetitivo, son números racionales.
Números Irracionales: Un número irracional es aquel que no se puede
representar como razón de dos números enteros, y en consecuencia no caen en un
patrón repetitivo de ningún tipo cuando se expresan en notación decimal.
Números Trascendentales: Estos son ciertos tipos de números irracionales
que se llaman números trascendentales. Al igual que los números irracionales ,
se definen por lo que no son (no son números racionales), sin embargo los
números trascendentales se identifican como tal porque no son otro tipo de
números, conocidos como números algebraicos.
Un número trascendental requiere de un número infinito de términos para ser
definido con exactitud. Es una manera de pensar en Dios. Hay ecuaciones
especiales para derivar a los números trascendentales donde los términos son
cada vez más pequeños a medida que se avanza, de modo que se pueden ir
agregando para alcanzar algún nivel de precisión requerido, pero el verdadero
número no se puede lograr con exactitud.Esa es la belleza de los números
trascendentales.
Extractado del artículo Why Sacred Geometry from Mid Atlantic.
www.bibliotecapleyades.net/geometria-sagrada
A lo largo de las más diversas civilizaciones y épocas, obras de variadas
dimensiones y de profundo contenido han manifestado proporciones a partir de
cinco razones matemáticas. Estas son expresadas en números irracionales, es
decir que no pueden expresarse como una fracción y cuyo desarrollo decimal
consta de infinitas cifras. Si bien estos números son infinitos (en realidad
son números finitos y lo que es infinito es el largo de su desarrollo decimal),
su equivalencia geométrica se acota en forma precisa. Podemos encontrarlos en
obras que van desde las pagodas japonesas, los templos mayas, Stonehenge, las
grandes pirámides egipcias, las catedrales góticas, por nombrar sólo algunas;
han utilizado estas razones:
13.1.- Raiz cuadrada de dos y el cuadrado.
A partir de un cuadrado de lado 1, trazamos su diagonal la cual lo divide
en dos triángulos rectángulos, lo que nos lleva a recurrir nuevamente a
Pitágoras (fig. 45) y su cálculo de la hipotenusa.
Fig. 45 Raiz cuadrada de dos en el cuadrado.
13.2.- Raiz cuadrada de tres. El cuadrado extendido y la Vesica Piscis.
Al abatir el tramo AD de la fig. 45 se extiende el tramo AB de valor 1 al
tramo AF de valor raiz cuadrada de dos, igual a 1,41421. Esto nos arroja un
rectángulo de lado 1 y 1,41421, por lo tanto dos triángulos rectángulos con
catetos de estos valores. Aplicamos Pitágoras para conocer el valor de la
hipotenusa (fig. 46).
Luego, si trazamos dos círculos con radio común 1 AB, la intersección de
éstos genera una Vesica Piscis cuyo lado menor ( AB) es 1.
El lado mayor ( CD) es igual a la raíz cuadrada de tres.
Al unir los vértices del lado mayor C y D con los vértices del lado menor A
y B, se obtienen cuatro triángulos rectángulos, a los que, a través de
Pitágoras, les podemos conocer el valor del cateto desconocido CE y ED; sumados
éstos, nos dan el lado mayor CD de la Vesica Piscis (fig, 47).
